Функция числа предков с учетом редукции

Для того чтобы найти число предков в поколении с учетом редукции, необходимо найти сумму числа предков в каждой возрастной группе с учетом редукции. Число предков в возрастной группе с учетом редукции можно определить как разность между числом предков без учета редукции и суммой редукций возникающих за счет персон в текущем поколении и с учетом персон предыдущих поколений:

q=Q-(f(Q)+F(Q,Q_n-1)), где                                                              (1)

Q - число предков в рассматриваемой возрастной группе поколения n из числа предков (Y) одной возрастной группы общества до наступления редукции,

f(Q) - среднее число предков (одной возрастной группы), на которое происходит уменьшение в текущем поколении восходящего родословного дерева с учетом редукции только в этом поколении,

F(Q,Qn-1) - функция, учитывающая редукцию между персонами текущего поколения восходящего родословного дерева и предыдущими поколениями.

Найдем каждое из этих слагаемых.

Число предков в возрастной группе восходящего родословного дерева без учета редукции определяется в соответствии с Законом о числе предков восходящего родословного дерева в возрастных группах без учета редукции (Q_ni=Q=Q_(n-1)(i-1)+Q_(n-1)(i)).

Теперь найдем насколько предков уменьшится восходящее родословное дерево, если из возрастной группы общества (с периодом равным разнице в возрасте родителей), состоящей из Y персон (Y=Y_общ/Vср×(Vo-Vм), где Y_общ ‑ общая численность населения популяции, Vср ‑ средний возраст жизни, Vo,Vм – средний возраст отца и матери), в восходящее родословное дерево попало Q человек (это первое слагаемое f(Q) в формуле 1).

Рассмотрим общество за некоторый период времени с постоянными условиями. Найдем в нем средний возраст отца (Vo) и матери(Vм). Разделим общество на возрастные группы по V=(Vo-Vм) лет, в которых все персоны будем считать одного возраста.

Рассмотрим одну возрастную группу в обществе из S семей (S отцов и S матерей). Будем рассматривать семьи со средним числом детей равным целому значению. Самый простой и удобный вариант, если среднее число детей в каждой семье равно целому числу, например, двум. Если среднее число детей в семье является дробным числом-dср, то можно рассматривать семьи с числом детей равным целому от dср ( d0=|dср|) и наибольшему целому (d1=|dср|+1=d0+1). Обозначим через Sd число семей со средним числом детей равным d. Тогда, S=Sd0+Sd1.

И учитывая, что

Или можно рассматривать семьи с конкретными числами детей, тогда , где

D - максимальное число детей в семье.

Для дробного значения числа детей в семье D=d1.

Например, в 5 (S) семьях со средним числом детей равным 2,4 (dср, следовательно D=3, d0=2, d1=3) и состоящих из 3 (S2) семей с двумя детьми и 2 (S3) семей с тремя детьми имеется 12 детей (5×2,4 или 3х2+2х3).

Тогда всего детей будет d_срхS=Y, у каждого из которых будет один теоретический отец без учета редукции (всего Y, а с учетом редукции S).  

Рассмотрим пример. Предположим из возрастной группы в 10 (Y) человек со средним числом детей равным 2,5 (две семьи с двумя детьми (S₂=2, i=2, d=2) и две семьи с тремя детьми (S₃=2, i=2, i=3, d=3). в родословное дерево попали все 10 человек. Следовательно, число родителей до наступления редукции равно Y, после редукции S=10/2,5=4.

Пронумеруем всех детей в семьях: 12 34 567 890

Если в восходящее родословное дерево попадет 2 человека, то наступление редукции маловероятно, если 4 – то есть вероятность, что редукции не будет (по одному ребенку из каждой семьи), а если более 4 -  то редукция наступит обязательно.

Предположим в восходящее родословное дерево попало 8 (Q) персон.

Закон о числе повторений предков в одной возрастной группе.

 Введем понятие коэффициента редукции:

 Следовательно, при среднем числе детей равным 2 коэффициент редукции является постоянным P=(Y-1), а при среднем числе детей равным трем .

Наиболее удобно использование коэффициента редукции при среднем числе детей равным 2, поскольку в этом случае он зависит только от одной переменной.

Как говорилось ранее, можно искать как число предков в поколении, так и общее число предков во всех поколениях. 

 Найдем число персон с учетом редукции между персонами текущего поколения восходящего родословного дерева и предыдущими поколениями для среднего числа детей равного 2 и 3. Это третье слагаемое F(Q,Q_n-1) в формуле 1.

Обозначим: a=Q,  b=Q_n-1, тогда Q_n= Q+Q_n-1=a+b

В соответствии с формулой 1 общая формула для расчета числа предков в одной возрастной группе с учетом редукции будет выглядеть так:

 Первое вычитаемое равно количеству повторений предков внутри только одного поколения, а второе-с учетом всех предыдущих поколений.

Полученное значение является одним из исходных слагаемых для числа предков в следующем поколении без учета редукции. (см. Закон о числе предков восходящего родословного дерева в возрастных группах без учета редукции.)

Рассмотрим пример для среднего числа детей равного 2. Рассмотрим группу общества из 8 человек (допустим, мужчин) со средним числом детей равным 2-м (всего 16 детей, у которых без учета редукции-16 отцов, а редукция составит 8 человек). Коэффициент редукции P=15. Если в возрастную группу восходящего родословного дерева попали все 16 человек, то количество повторений предков в поколении будет равно: (Q×(Q 1)/2)/Р=16×15/2/15=8.

А если в возрастную группу одного поколения попало только 6 человек, то произойдет только (Q×(Q-1)/2)/Р=6×5/2/15=1 повторение предков. И, например, в следующее поколение попало 10 человек, тогда в нем произойдет уменьшение на ((Q×(Q-1)/2)+Q×Q_n-1)/Р = (10×9/2+10×6))/15=105/15=7 предков с учетом предков двух поколений. Три из которых произошли за счет пересечений внутри поколения и четыре за счет пересечения с персонами предыдущего поколения. Таким образом, в родословном дереве произошло уменьшение на 8 персон (7+1), также, как и в обществе.

Рассмотрим другой пример, с учетом возраста родителей. Для наглядности, и удобства расчетов разместим данные соответствующие треугольнику Паскаля, аналогичные Таблице 2 (с учетом редукции и с учетом округления) на временной шкале (для отслеживания одинаковых возрастных групп в разных поколениях, в которых может произойти редукция при наличии достаточного числа предков), но с коэффициентом редукции равным 45 и средним возраст матери равным 25 годам, а отца 30 годам.

Таблица 5

Из таблицы видно, что для данных условий в первых пяти поколениях редукции предков нет, но начиная с 6 поколения (160 лет тому назад) происходит редукция внутри одного поколения для двух возрастных групп. В этом случае (обозначено 1) в соответствии с Первым законом редукции предков происходит уменьшение на одного предка в двух возрастных группах.

Начиная с 7 поколения, 175 лет назад появляются одинаковые возрастные группы в разных поколениях восходящего родословного дерева, и таким образом в дополнение к возможной редукции внутри одного поколения появляется вероятность редукции в одной возрастной группе за счет разных поколений.  

 Так, для данного примера в 9 поколении (230 лет тому назад) должно быть 7 персон, но с учетом 7 персон в предыдущем поколении в той же возрастной группе и в соответствии с Первым законом редукции предков число предков с учетом коэффициента редукции равного P=45, получим число предков, уменьшенное на два (обозначено 2).

То же значение можно получить с использованием Второго закона редукции предков. Общее число предков в возрастной группе равно Q_n=7+7=14. Число предков в предыдущих поколениях равно Q_n-1=7.

Тогда f(Q_n) =14х(14-1)/2/45=2,022,

f(Q_n-1)=(7x(7-1)/2)/45=0,467

q=Q-((Q_n(Q_n-1)-Q_n-1(Q_n-1-1))/2P =Q - f(Q_n)+f(Q_n-1)=7-2,022+0,467≈5

Заметим, что уменьшение числа предков за счет повторений между персонами разных поколений происходит не в самой младшей возрастной группе, а в возрастных группах, образующих максимальное число попарных комбинаций.

Учитывая, что в начальных поколениях (в связи с небольшим объемом статистических данных) могут быть значительные отклонения от среднего возраста отца и матери, вероятность повторения персон в разных поколениях восходящего родословного дерева несколько увеличивается.

Рассмотрим пример.

Объединив формулы q=Q - f(Q)-F(Q,Q_n-1)  f(Q_n)=f(Q)+f(Q_n-1)+F(Q,Q_n-1)  

(или f(Q_n)-f(Q_n-1)=f(Q)+F(Q,Q_n-1)), получим:

 Т.е. мы из числа предков без учета редукции (Q) вычитаем разность между числом повторений предков внутри всех поколений возрастной группы f(Q_n) и числом повторений предков внутри всех предыдущих поколений возрастной группы f(Q_n-1).